MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [710]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

A teoria da relatividade especial desempenha um papel importante na teoria moderna do eletromagnetismo clássico. Ela fornece fórmulas de como os objetos eletromagnéticos, em particular os campos elétricos e magnéticos, são alterados sob uma transformação de Lorentz de um referencial inercial para outro. Ela lança luz sobre a relação entre eletricidade e magnetismo, mostrando que o quadro de referência determina se uma observação segue leis eletrostáticas ou magnéticas. Isso motiva uma notação compacta e conveniente para as leis do eletromagnetismo, ou seja, a forma de tensor "manifestamente covariante".

As equações de Maxwell, quando foram formuladas pela primeira vez em sua forma completa em 1865, seriam compatíveis com a relatividade restrita.^[1] Além disso, as aparentes coincidências nas quais o mesmo efeito foi observado devido a diferentes fenômenos físicos por dois observadores diferentes seriam mostradas como não coincidentes de forma alguma pela relatividade especial. Na verdade, metade do primeiro artigo de Einstein de 1905 sobre a relatividade especial, "Sobre a eletrodinâmica dos corpos em movimento" [en], explica como transformar as equações de Maxwell.

Transformação dos campos entre referenciais inerciais

Os campos E e B

Reforço de Lorentz de uma carga elétrica.

Acima: A carga está em repouso no referencial F, então este observador vê um campo elétrico estático. Um observador em outro referencial F′ se move com velocidade v em relação a F e vê a carga se mover com velocidade −v com um campo elétrico E alterado devido à contração do comprimento e um campo magnético B devido ao movimento da carga.

Abaixo: configuração semelhante, com a carga em repouso no referencial F′.

Esta equação considera dois referenciais inerciais. O referencial primário está se movendo, em relação ao referencial secundário, na velocidade v. Os campos definidos no referencial primário são indicados por primos, e os campos definidos no referencial secundário carecem de primos. As componentes de campo paralelas à velocidade v são denotadas por $\mathbf {E} _{\parallel }$ e $\mathbf {B} _{\parallel }$ enquanto as componentes de campo perpendiculares a v são denotadas como $\mathbf {E} _{\perp }$ e $\mathbf {B} _{\perp }$ . Nesses dois referenciais, movendo-se a uma velocidade relativa v, os campos E e B estão

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// relacionados por:^[2]

{\begin{aligned}\mathbf {E_{\parallel }} '&=\mathbf {E_{\parallel }} \\\mathbf {B_{\parallel }} '&=\mathbf {B_{\parallel }} \\\mathbf {E_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)\\\mathbf {B_{\bot }} '&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \right)\end{aligned}}

onde

\gamma \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ {\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}

é chamado de fator de Lorentz e c é a velocidade da luz no espaço livre. As equações acima estão no S.I. Em C.G.S., essas equações podem ser derivadas substituindo ${\frac {1}{c^{2}}}$ por ${\frac {1}{c}}$ , e $v\times B$ por ${\frac {1}{c}}v\times B$ , exceto $\gamma$ . O fator de Lorentz ( $\gamma$ ) é o mesmo em ambos os sistemas. As transformações inversas são as mesmas, exceto v → −v.

Uma expressão alternativa equivalente é:^[3]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}\mathbf {E} '&=\gamma \left(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {B} '&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\frac {\mathbf {v} \times \mathbf {E} }{c^{2}}}\right)-\left({\gamma -1}\right)(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

onde $\mathbf {\hat {v}} ={\frac {\mathbf {v} }{\Vert \mathbf {v} \Vert }}$ é o vetor unitário de velocidade. Com as notações anteriores, na verdade temos

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

$(\mathbf {E} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {E} _{\parallel }$ e $(\mathbf {B} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} =\mathbf {B} _{\parallel }$ .

Componente por componente, para o movimento relativo ao longo do eixo $\mathbf {v} =(v,0,0)$ , isso resulta no seguinte:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}E'_{x}&=E_{x}&\qquad B'_{x}&=B_{x}\\E'_{y}&=\gamma \left(E_{y}-vB_{z}\right)&B'_{y}&=\gamma \left(B_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}E_{z}\right)\\E'_{z}&=\gamma \left(E_{z}+vB_{y}\right)&B'_{z}&=\gamma \left(B_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}E_{y}\right).\\\end{aligned}}

Se um dos campos for zero em um referencial, isso não significa necessariamente que seja zero em todos os outros referenciais. Isso pode ser visto, por exemplo, tornando o campo elétrico primário nulo na transformação para o campo elétrico ativado. Nesse caso, dependendo da orientação do campo magnético, o sistema primário pode ver um campo elétrico, embora não exista nenhum no sistema secundário.

Isso não significa que dois conjuntos de eventos completamente diferentes são vistos nos dois referenciais, mas que a mesma sequência de eventos é descrita de duas maneiras diferentes (consulte Problema do ímã e do condutor em movimento abaixo).

Se uma partícula de carga q se move com velocidade u, em relação ao referencial S, então a força de Lorentz no referencial S é:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {F} =q\mathbf {E} +q\mathbf {u} \times \mathbf {B}

No referencial S', a força de Lorentz é:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {F'} =q\mathbf {E'} +q\mathbf {u'} \times \mathbf {B'}

Uma derivação para a transformação da força de Lorentz para o caso particular u = 0 é dada aqui.^[4] Uma mais geral pode ser vista aqui.^[5]

As transformações nesta forma podem ser mais compactas introduzindo o tensor eletromagnético (definido abaixo), que é um tensor covariante.

Os campos D e H

Para o deslocamento elétrico D e a intensidade magnética H, usando as relações constitutivas [en] e o resultado para c²:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\mathbf {D} =\epsilon _{0}\mathbf {E} \,,\quad \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {H} \,,\quad c^{2}={\frac {1}{\epsilon _{0}\mu _{0}}}\,,

dá

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}\mathbf {D} '&=\gamma \left(\mathbf {D} +{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {H} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {D} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \\\mathbf {H} '&=\gamma \left(\mathbf {H} -\mathbf {v} \times \mathbf {D} \right)+(1-\gamma )(\mathbf {H} \cdot \mathbf {\hat {v}} )\mathbf {\hat {v}} \end{aligned}}

Analogamente para E e B, D e H formam o tensor de deslocamento eletromagnético [en].

Os campos φ e A

Uma alternativa mais simples de transformação do campo eletromagnético usa os potenciais eletromagnéticos - o potencial elétrico φ e o potencial magnético A:^[6]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

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{\begin{aligned}\varphi '&=\gamma \left(\varphi -vA_{\parallel }\right)\\A_{\parallel }'&=\gamma \left(A_{\parallel }-{\frac {v\varphi }{c^{2}}}\right)\\A_{\bot }'&=A_{\bot }\end{aligned}}

onde $\scriptstyle A_{\parallel }$ é a componente paralela de A à direção da velocidade relativa entre os referenciais v, e $\scriptstyle A_{\bot }$ é a componente perpendicular. Estes assemelham-se transparentemente à forma característica de outras transformações de Lorentz (como posição de tempo e momento de energia), enquanto as transformações de E e B acima são um pouco mais complicadas. Os componentes podem ser coletados juntos como:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}\mathbf {A} '&=\mathbf {A} -{\frac {\gamma \varphi }{c^{2}}}\mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {A} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\varphi '&=\gamma \left(\varphi -\mathbf {A} \cdot \mathbf {v} \right)\end{aligned}}

Os campos ρ e J

Analogamente para a densidade de carga ρ e a densidade de corrente J,^[6]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}J_{\parallel }'&=\gamma \left(J_{\parallel }-v\rho \right)\\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {v}{c^{2}}}J_{\parallel }\right)\\J_{\bot }'&=J_{\bot }\end{aligned}}

Coletando componentes juntas:

{\begin{aligned}\mathbf {J} '&=\mathbf {J} -\gamma \rho \mathbf {v} +\left(\gamma -1\right)\left(\mathbf {J} \cdot \mathbf {\hat {v}} \right)\mathbf {\hat {v}} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -{\frac {\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\end{aligned}}

Aproximações não relativísticas

Para velocidades v ≪ c, o fator relativístico γ ≈ 1, que produz:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\begin{aligned}\mathbf {E} '&\approx \mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} \\\mathbf {B} '&\approx \mathbf {B} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {E} \\\mathbf {J} '&\approx \mathbf {J} -\rho \mathbf {v} \\\rho '&\approx \rho -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {J} \cdot \mathbf {v} \end{aligned}}

de modo que não há necessidade de distinguir entre as coordenadas espaciais e temporais nas equações de Maxwell.

Relação entre eletricidade e magnetismo

“

Uma parte da força entre as cargas em movimento chamamos de força magnética. É realmente um aspecto de um efeito elétrico.

”

— Richard Feynman^[7]

Derivando o magnetismo da eletrostática

Ver artigo principal: Eletromagnetismo relativístico

O quadro de referência escolhido determina se um fenômeno eletromagnético é visto como um efeito de eletrostática ou magnetismo ou uma combinação dos dois. Os autores geralmente derivam o magnetismo da eletrostática quando a relatividade especial e a invariância de carga [en] são levadas em consideração. The Feynman lectures on physics (vol. 2, cap. 13-6) usa esse método para derivar a força "magnética" em uma carga em movimento próxima a um fio condutor de corrente. Ver também Haskell^[8] e Landau.^[9]

Mistura de campos em referenciais diferentes

As regras de transformação acima mostram que o campo elétrico em um referencial contribui para o campo magnético em outro referencial e vice-versa.^[10] Isso geralmente é descrito dizendo que o campo elétrico e o campo magnético são dois aspectos inter-relacionados de um único objeto, chamado campo eletromagnético. De fato, todo o campo eletromagnético pode ser representado em um único tensor de nível 2 chamado tensor eletromagnético; Veja abaixo.

Problema do ímã e do condutor em movimento

Um exemplo famoso da mistura de fenômenos elétricos e magnéticos em diferentes quadros de referência é chamado de "problema do ímã e do condutor em movimento", citado por Einstein em seu artigo de 1905 sobre a relatividade especial.

Se um condutor se move com uma velocidade constante através do campo de um ímã estacionário, correntes circulares serão produzidas devido a uma força magnética nos elétrons do condutor. No referencial de repouso do condutor, por outro lado, o ímã estará em movimento e o condutor estacionário. A teoria eletromagnética clássica prevê que precisamente as mesmas correntes circulares microscópicas serão produzidas, mas elas serão devidas a uma força elétrica.^[11]

Formulação covariante no vácuo

As leis e objetos matemáticos no eletromagnetismo clássico podem ser escritos de uma forma que é manifestamente covariante [en]. Aqui, isso é feito apenas para o vácuo (ou para as equações microscópicas de Maxwell, não usando as descrições macroscópicas de materiais como a permissividade elétrica) e usa unidades do S.I..

Esta seção usa a notação de Einstein, incluindo a convenção de soma de Einstein. Consulte também cálculo de Ricci para obter um resumo das notações de índice tensorial e índices de aumento e diminuição para definição de índices sobrescritos e subscritos e como alternar entre eles. O tensor métrico Minkowski [en] η aqui tem assinatura métrica (+ − − −).

Tensor de campo e 4-corrente

Ver artigo principal: Tensor de campo eletromagnético

As transformações relativísticas acima sugerem que os campos elétrico e magnético estão acoplados, em um objeto matemático com 6 componentes: um tensor antissimétrico de segunda ordem, ou um bivetor [en]. Isso é chamado de tensor do campo eletromagnético, geralmente escrito como F^μν. Em forma de matriz:^[12]

F^{\mu \nu }={\begin{pmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{pmatrix}}

onde c a velocidade da luz - em unidades naturais c = 1.

Existe outra forma de fundir os campos elétrico e magnético em um tensor antissimétrico, substituindo E/c → B e B → − E/c, para obter o tensor dual [en] G^μν.

No contexto da relatividade especial, ambos se transformam de acordo com a transformação de Lorentz de acordo com

F'^{\alpha \beta }=\Lambda _{\mu }^{\alpha }\Lambda _{\nu }^{\beta }F^{\mu \nu }

onde Λ^α_ν é o tensor da transformação de Lorentz para uma mudança de um referencial para outro. O mesmo tensor é usado duas vezes na soma.

A carga e a densidade de corrente, as fontes dos campos, também se combinam no quadrivetor

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

J^{\alpha }=\left(c\rho ,J_{x},J_{y},J_{z}\right)

chamado de quadricorrente.

Equações de Maxwell na forma tensorial

Ver artigo principal: en:Covariant formulation of classical electromagnetism

Usando esses tensores, as equações de Maxwell se reduzem a:^[12]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

Equações de Maxwell(formulação covariante)

${\begin{aligned}{\frac {\partial F^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=\mu _{0}J^{\beta }\\[3pt]{\frac {\partial G^{\alpha \beta }}{\partial x^{\alpha }}}&=0\end{aligned}}$

onde as derivadas parciais podem ser escritas de várias maneiras, ver 4-gradiente [en]. A primeira equação listada acima corresponde tanto à lei de Gauss (para β = 0) quanto à lei de Ampère – Maxwell (para β = 1, 2, 3). A segunda equação corresponde às duas equações restantes, a lei de Gauss para o magnetismo (para β = 0) e a lei de Faraday (para β = 1, 2, 3).

Essas equações de tensores são manifestamente covariantes [en], o que significa que as equações podem ser vistas como covariantes pelas posições do índice. Esta forma abreviada de escrever as equações de Maxwell ilustra uma ideia compartilhada entre alguns físicos, ou seja, que as leis da física assumem uma forma mais simples quando escritas usando tensores.

Ao diminuir os índices de F^αβ para obter F_αβ:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

F_{\alpha \beta }=\eta _{\alpha \lambda }\eta _{\beta \mu }F^{\lambda \mu }

a segunda equação pode ser escrita em termos de F_αβ como:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\epsilon ^{\delta \alpha \beta \gamma }{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}={\dfrac {\partial F_{\alpha \beta }}{\partial x^{\gamma }}}+{\dfrac {\partial F_{\gamma \alpha }}{\partial x^{\beta }}}+{\dfrac {\partial F_{\beta \gamma }}{\partial x^{\alpha }}}=0

onde $\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }$ é o símbolo de Levi-Civita contravariante. Observe a permutação cíclica dos índices nesta equação: ${\begin{array}{rc}&\scriptstyle {\alpha \,\,\longrightarrow \,\,\beta }\\&\nwarrow _{\gamma }\swarrow \end{array}}$ .

Outro objeto eletromagnético covariante é o tensor eletromagnético de tensão–energia, um tensor covariante de classificação 2 que inclui o vetor de Poynting, o tensor de tensão de Maxwell e a densidade de energia eletromagnética.

4-potencial

Ver artigo principal: 4-potencial

O tensor de campo eletromagnético também pode ser escrito^[13]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

F^{\alpha \beta }={\frac {\partial A^{\beta }}{\partial x_{\alpha }}}-{\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x_{\beta }}}\,,

onde

A^{\alpha }=\left({\frac {\varphi }{c}},A_{x},A_{y},A_{z}\right)\,,

é o quadripotencial e

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

x_{\alpha }=(ct,-x,-y,-z)

é a quadriposição [en]. Usando o potencial 4 no medidor de Lorenz, uma formulação alternativa manifestamente covariante pode ser encontrada em uma única equação (uma generalização de uma equação devido a Bernhard Riemann por Arnold Sommerfeld, conhecida como a equação de Riemann – Sommerfeld,^[14] ou a forma covariante das equações de Maxwell^[15]):

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

Equações de Maxwell(formulação covariante do medidor de Lorenz)

$\Box A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }$

onde $\Box$ é o operador d'Alembertiano, ou 4-laplaciano.

Energia do fotão ^{(português europeu)} ou energia do fóton ^{(português brasileiro)} é a energia carregada por um único fóton. A quantidade de energia está diretamente relacionada à frequência e ao comprimento de onda eletromagnética do fóton. Quanto maior for a frequência do fóton, maior a sua energia. Da mesma forma, quanto maior for o comprimento de onda do fóton, menor a sua energia.

A energia do fóton é uma função somente do comprimento de onda. Outros fatores, como intensidade da radiação, não afetam a energia do fóton. Em outras palavras, dois fótons de luz com a mesma cor e, portanto, o mesmo comprimento de onda, terão a mesma energia do fóton, mesmo se um for emitido por uma vela de cera e o outro for emitido pelo Sol.

A energia do fóton pode ser representada por qualquer unidade de energia. Umas das unidades mais comuns para denotar a energia do fóton é elétron-volt (eV) e joule (bem como seus múltiplos, como microjoule). Como um joule é igual a 6,24 × 10¹⁸ eV, as unidades maiores podem ser mais úteis para denotar a energia de fótons com frequências e energias mais altas, como o raio gama, ao contrário dos fótons de menor energia, como os da região do espectro eletromagnético de radiofrequência.

Se os fótons, de fato, não possuem massa, a energia do fóton não seria relacionada à massa através da equivalência E = mc². Os únicos dois tipos de tais partículas sem massa observados são os fótons e os glúons.^[1] Entretanto, o postulado de que os fótons não possuem massa é baseado na crise que resulta de outras teorias em mecânica quântica. Para que outras teorias, como a invariância de gauge e a chamada "renormalização" sobrevivam sem considerável revisão, os fótons devem permanecer sem massa no domínio das atuais equações.^[2] A alegação é contestada em outros meios.^[3] Diz-se que fótons possuem massa relativística (isto é, massa resultante do movimento de um corpo material em relação a outro). Além disso, algumas hipóteses propõem que toda massa ou "massa de repouso" pode ser composta de massa relativística acumulada, secundária ao movimento, uma vez que nenhum corpo material esteja ou possa estar em "repouso" em relação a todos os campos. Nessa hipótese, assim como o movimento se torna zero, a massa também se torna zero. Por outro lado, os fótons possuem movimento e energia variável em relação à frequência e ao comprimento de onda, sugerindo que várias formas do foton têm, cada uma, equivalência de massa diferente. Assim, a equação "E = mc²" mostraria que a massa e o movimento são conceitos indissociáveis e e fundamentalmente substituíveis para toda a matéria.^[4]

Fórmula

A equação para a energia do fóton^[5] é

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$E={\frac {hc}{\lambda }}$

Onde E é a energia do fóton, h é a constante de Planck, c é a velocidade da luz no vácuo e λ é o comprimento de onda do fóton. Como h e c são ambos constantes, a energia do fóton varia diretamente em relação ao comprimento de onda λ.

Para encontrar a energia do fóton em eV, usando o comprimento de onda em micrômetros, a equação é

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// aproximadamente

$E(eV)={\frac {1.2398}{\mathrm {\lambda } ({\mu }m)}}$

Portanto, a energia do fóton de comprimento de onda de 1 μm, próximo à da radiação infravermelho, é aproximadamente 1,2398 eV.

Como ${\frac {c}{\lambda }}=f$ , onde f é a frequência, a equação da energia pode ser simplificada para

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$E=hf$

Esta equação é conhecida como a relação de Planck-Einstein. Substituindo h por seu valor em J⋅s e f por seu valor em hertz resulta na energia do fóton em joules. Portanto, a energia do fóton à frequência de 1 Hz é 6,62606957×10⁻³⁴ joules ou 4,135667516×10⁻¹⁵ eV.

Em química e engenharia óptica,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$E=h{\nu }$

é usada onde h é a constante de Planck e a letra grega ν (ni) é a frequência do fóton.^[6]

O efeito Hall está relacionado ao surgimento de uma diferença de potencial em um condutor elétrico, transversal ao fluxo de corrente e um campo magnético perpendicular à corrente. Esse fenômeno foi descoberto em 1879 por Edwin Herbert Hall^[1], e é extremamente importante no estudo da condutividade, pois a partir do coeficiente de Hall é possível determinar o sinal e a densidade de portadores de carga em diferentes tipos de materiais. O efeito Hall é a base de diversos métodos experimentais utilizados na caracterização de metais e semicondutores.

Descoberta

Em 1879, Edwin Herbert Hall descobriu o efeito que leva seu nome durante seu doutorado em física sob a supervisão de Henry Augustus Rowland na Universidade Johns Hopkins em Baltimore, Maryland. Em seus estudos experimentais sobre a influência do campo magnético nos portadores de carga da corrente elétrica, ele determinou a existência de portadores de carga negativa muitos anos antes da descoberta dos elétrons por Joseph John Thomson. Segundo seu trabalho, o campo magnético desviaria o movimento de cargas eletrônicas dentro de um condutor e a deflexão poderia ser medida como uma voltagem, $V_{H}$ , perpendicular ao fluxo das cargas (vide Força magnética). Essa diferença de potencial, também conhecida como voltagem Hall, revela informações essenciais sobre os portadores de carga em um semicondutor, incluindo se são elétrons negativos ou quase partículas positivas, sua velocidade em um campo elétrico ou sua “mobilidade” (µ) e sua densidade (n) dentro do semicondutor.^[2]

Teoria

Durante seus estudos de doutorado, Edwin Hall buscava entender qual a influência de um campo magnético externo sob um fio condutor. Ele queria entender se a força devido a este campo externo atuaria sobre os portadores de corrente elétrica ou sobre o fio como um todo. Hall acreditava que essa força magnética atuaria sobre os portadores de carga fazendo com que a corrente se deslocasse para uma determinada região do fio, e portanto, a resistência do fio iria aumentar. Apesar de não observar tal aumento na resistência do fio em seus experimentos, Hall sabia que de alguma forma a corrente elétrica era alterada sem que a resistência fosse modificada. Ele propôs a presença de um estado de stress em uma determinada região do condutor, devido ao acúmulo de portadores de carga, que originaria uma diferença de potencial transversal mais tarde conhecida como tensão de Hall.

Para entender melhor a origem desse fenômeno vamos considerar a definição para corrente elétrica segundo o modelo de Drude, ou seja, vamos considerar que a corrente é formada por um fluxo de portadores de carga (elétrons, íons ou lacunas) que seguem uma trajetória linear até que se choquem com os átomos da rede, impurezas, fônons, etc. Em seus experimentos, Hall considerou um fio metálico conduzindo corrente elétrica ao longo do eixo x (com densidade de corrente $\mathbf {j} _{x}$ ), sob a ação de um campo magnético externo $\mathbf {B}$ aplicado ao longo do eixo z. A presença do campo faz com que os portadores de carga experimentem uma força magnética que causa uma deflexão na trajetória dos portadores na direção y. Essa mudança de trajetória gera separação de cargas ao longo da direção y e, consequentemente, um campo elétrico, $\mathbf {E} _{y}$ , conhecido como campo de Hall. haverá então um acúmulo de carga nas extremidades do elemento Hall, resultando na d.d.p. conhecida como potencial de Hall, $V_{H}$ . Para um metal simples, ou seja, com um único portador de carga, o potencial de Hall pode ser escrito como:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

V_{H}={\frac {-IB}{nqd}}

onde $�$ representa a densidade de portadores e $�$ a espessura do fio. Uma outra quantidade interessante relacionada ao efeito Hall é o coeficiente de Hall, que é a constante de proporcionalidade entre o campo de Hall e o produto do campo magnético com o fluxo de corrente

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{H}={\frac {\mathbf {E} _{y}}{\mathbf {B} \mathbf {j} _{x}}}={\frac {dV_{H}}{IB}}={\frac {-1}{nq}}

Como o sinal da força magnética é o mesmo para cargas positivas se movendo em uma determinada direção e cargas negativas se movendo na direção oposta, o sinal do coeficiente de Hall depende exclusivamente do campo de Hall. Assim, como o sinal de $\mathbf {E} _{y}$ depende exclusivamente do sinal da carga dos portadores, o coeficiente de Hall permite identificar se o fluxo de corrente se deve a portadores negativos ( $R_{H}<0$ ) ou positivos ( $R_{H}>0$ ). Desta maneira, podemos concluir que o efeito Hall, além de permitir a determinação da densidade de corrente e a mobilidade dos portadores ou do campo magnético, este também permite a distinção entre um fluxo de cargas positivas e negativas. O efeito Hall é a primeira prova real de que a corrente elétrica em metais se deve ao movimento dos elétrons e não dos prótons. Ainda mais, esse efeito demonstrou que em alguns materiais, especialmente semicondutores do tipo p, a maneira mais apropriada de se descrever a corrente elétrica é através do fluxo de buracos positivos ao invés de elétrons. Contudo, o efeito Hall gera confusões em alguns casos. Por exemplo, buracos se movendo para a esquerda na realidade são elétrons se movendo para a direita e portanto devemos ter o mesmo sinal para o coeficiente de Hall, o que não ocorre. Tal problema só pode ser solucionado quando consideramos a teoria quântica do transporte em sólidos [2].

Efeito Hall em semicondutores

A forma do coeficiente de Hall para semicondutores é mais complexa, uma vez que podemos ter dois tipos de portadores de carga, elétrons e buracos, com densidades e mobilidades diferentes. Para o caso de campos magnéticos moderados podemos escrever o coeficiente de Hall como sendo [3]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{H}={\frac {-n\mu _{e}^{2}+p\mu _{b}^{2}}{e(n\mu _{e}+p\mu _{b})}}

onde $�$ e $�$ são as densidades e $\mu _{e}$ e $\mu _{b}$ são as mobilidades para os elétrons e buracos respectivamente. No caso de campos magnéticos altos o coeficiente de Hall é análogo ao caso de um único portador

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{H}={\frac {-(p-nb^{2})}{e(p+nb)^{2}}}

onde $b=\mu _{e}/\mu _{b}$ .

Efeito Hall quântico

Ver artigo principal: Quantum Hall Effect (em inglês)

Efeito observado em sistemas eletrônicos de duas dimensões sob baixas temperaturas e altos campos magnéticos. A característica marcante desse efeito é a presença de uma condutividade de Hall quantizada, onde a quantização esta relacionada aos níveis de Landau.

Efeito Hall com spin

Ver artigo principal: Spin Hall Effect (em inglês)

O efeito Hall com spin esta relacionado com a existência de um acúmulo de spin nas extremidades de um condutor com uma corrente de portadores. Neste caso, não é necessária a presença de um campo magnético externo para se observar o efeito. Esse efeito foi descoberto por I. Dyakonov e V.I.Perel, em 1971, e observado experimentalmente 30 anos mais tarde em semicondutores e metais sob criogenia e à temperatura ambiente.

Efeito Hall quântico com spin

Ver artigo principal: Quantum Spin Hall Effect (em inglês)

Observados em semicondutores de duas dimensões onde ocorre o acoplamento spin-órbita.

Efeito Hall anômalo

Em materiais ferromagnéticos (e materiais paramagnéticos na presença de um campo magnético), a resistividade Hall inclui uma contribuição adicional ao efeito Hall comum, conhecido como o efeito Hall anômalo. Esse efeito depende diretamente da magnetização do material, e é frequentemente maior que o efeito Hall comum. Embora este seja um fenômeno bem conhecido, ainda existem discussões sobre sua origem em diversos materiais. O efeito Hall anômalo pode ser um efeito extrínseco causado pelo espalhamento dos portadores de carga com spin, ou um efeito intrínseco que pode ser descrito em termos do efeito de Fase de Berry no espaço dos momentum do cristal [5].

Efeito Hall em gases ionizados

O efeito Hall em um gás ionizado (plasma) é significativamente diferente do efeito Hall em sólidos (onde o coeficiente de Hall $R_{H}$ é sempre muito inferior à unidade). Em um plasma, o coeficiente de Hall pode assumir qualquer valor, sendo dado pela relação entre a girofrequência do elétron, $\Omega _{e}$ , e a frequência de colisão entre os elétrons e as partículas pesadas $\nu$ ,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{H}={\frac {\Omega _{e}}{\nu }}={\frac {eB}{m_{e}\nu }}

onde $m_{e}$ é a massa do elétron.

O valor do coeficiente de Hall é diretamente proporcional à intensidade do campo magnético. Fisicamente, sabemos que a trajetória dos elétrons é curvadas pela força magnética. No entanto, quando o coeficiente de Hall é baixo, o movimento do elétron entre duas colisões com as partículas pesadas é quase linear. Por outro lado, se o coeficiente de Hall é alto, o trajeto dos portadores é altamente curvado e a aproximação de trajetórias retilíneas não se aplica. No caso do gás ionizado, o vetor densidade de corrente não é mais colinear ao vetor campo elétrico, e o ângulo $\theta$ entre eles está relacionado ao coeficiente de Hall da seguinte maneira:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{H}=\cos {(\theta )}

O efeito Barnett consiste no surgimento de uma ligeira magnetização numa amostra inicialmente desmagnetizada, quando é posta a girar em alta velocidade ao redor do próprio eixo.^[1]

Projeção matemática

A magnetização ocorre paralelamente à linha central da rotação.com γ = razão giromagnética para o material, χ = susceptibilidade magnética.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

: $M=\chi \omega /\gamma \ ,$

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